• KHOA
    KHOA HỌC TỰ NHIÊN

    Phụ trách các học phần thuộc Khối kiến thức giáo dục đại cương trong các chương trình đào tạo tại Trường Đại học Duy Tân.

  • KHOA
    KHOA HỌC TỰ NHIÊN

    Đảm nhận các học phần Toán học, Vật lý, Hóa học và Sinh học ở các chương trình đào tạo của Trường.

  • KHOA
    KHOA HỌC TỰ NHIÊN

    Xây dựng chương trình, kế hoạch giảng dạy và chủ trì tổ chức quá trình đào tạo các học phần Toán học, Vật lý, Hóa học và Sinh học đại cương.

18/01/2015 09:57:02 PM
Nghiên cứu khoa học
Mặt cực đại và Định lý Bernstein

Trong bài viết này chúng ta tổng quan về các vấn đề liên quan đến mặt cực đại và Định lý Bernstein đối với mặt spacelike trong không gian Lorentz-Minkowski.

Trong những bài viết trước chúng ta đã làm quen với các khái niệm không gian Lorentz-Minkowski và các đối tượng Vật lý trong lý thuyết tương đối Einstein. Hình học nửa Riemann (trường hợp tổng quát của không gian Lorentz-Minkowski) phát triển mạnh vào thời gian đầu của những năm tám mươi. Đúc kết khá đầy đủ của hệ thống lý thuyết này phải kể đến O'Nel trong cuốn Semi-Riemannian Geometry vào năm 1983. Theo cuốn sách này, các vấn đề xuất hiện trong không gian Euclidean lần lượt được chuyển sang không gian Semi-Riemannian. 

Trong không gian Euclidean, một mặt được gọi là mặt cực tiểu nếu độ cong trung bình của nó bằng không tại mội điểm. Tên gọi cực tiểu xuất phát từ tính chất mặt cực tiểu là cực tiểu diện tích địa phương. Tương ứng với khái niệm mặt cực tiểu trong không gian Euclidean ta có khai niệm mặt cực đại (Maximal surface) trong không gian Lorentz-Minkowski. Một mặt kiểu không gian (spacelike) trong không gian Lorentz-Minkowski là mặt có độ cong trong bình bằng không tại mọi điểm. Tên gọi cực đại cũng xuất phát từ tính chất: một mặt cực đại thì cực đại diện tích địa phương (tương ứng với metric Lorentz). Mặt cực đại đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tương đối của Eistein và nó thỏa mãn một số tính chất của phương trình Eistein.

Một trong những bài toán khá thú vị của mặt cực đại và mặt cực tiểu là định lý Berstein. Xét mặt được cho dướu dưới dạng tham số hóa kiểu đồ thị, khi miền xác định của hàm là một tập đóng thì tính duy nhất nghiệm của bài toán biên trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng khẳng định là phương trình mặt cực đại hay mặt cực tiêu đều có duy nhất nghiệm. Tuy nhiên, khi miền xác định của hàm là một tập mở bị chặn thì hiển nhiên tập nghiệm của phương trinhg mặt cực đại hoặc mặt cực tiểu là vô số nghiệm. Điều thú vị là khi miền mở đó trùng với cả không gian (R^2) thì các phương trình mặt cực đại và mặt cực tiểu quay về có nghiệm duy nhất, đây chính là định lý Bernstein trong R^3! Câu hỏi thú vị được đặt ra là kết quả này có đúng hay không khi số chiều của không gian được nâng lên? Trải qua một thời gian thăng trầm của Toán học thì câu trả lời cuối cùng cũng đã được xác lập. Với không gian Euclidean, định lý Bernstein chỉ đúng khi số chiều của không gian nhỏ hơn 8, trong khi đó định lý Bernstein trong không gian Lorentz-Minkowski lại đúng với mọi không gian hữu hạn chiều.

Thời gian gần đây, các nhà Hình học tìm cách mở rộng định lý Bernstein theo hai hướng khác nhau:

1. Định lý Bernstein trên các không gian khác, chẳng hạn không gian với mật độ, trên các mặt đối chiều cao.

2. Tính chất chứa trong một siêu phẳng của mặt có độ cong trung bình hằng. Sở dĩ đây được coi là một mở rộng của Định lý Bernstein vì độ cong trung bình bằng không làm một trường hợp hằng của độ cong trung bình.

Tài liệu tham khảo:

[1] F. Almgren, Some interior regularity theorems for minimal surfaces and an extension of  Bernstein's theorem, Ann. Math. 74(1966), 277-292. MR 34:702
[2] S. Bernstein, Sur un theoreme de geometrie et ses applications aux equations aux derivees partielle du type elliptique, Comm. de la Soc. Math de Kharkov 15(1915-17), 38-45.
[3] E. Bombieri, E. De Giorgi, E. Giusti, Minimal cones and the Bernstein problem, Invent. Math. 7(1969), 243-268. MR 40:3445
[4] D. Fischer-Colbrie, R. Schoen, The structure of complete stable minimal surfaces in 3-manifolds of nonnegative scalar curvature, Comm. Pure Appl. Math. 33(1980), no. 2, 199-211. MR 81i:53044
[5] H. Fujimoto, Modi ed defect relations for the Gauss map of minimal surfaces, J. Di erential Geom. 29(1989), no. 2, 245-262. MR 89m:53012
[6] J. Nitsche, Elementary proof of Bernstein's theorem on minimal surfaces, Ann. of Math. (2) 66(1957), 543-544. MR 19:878f
[7] R. Osserman, A survey of minimal surfaces, Van Nostrand-Reinhold, New York, 1969. MR 41:934
[8] R. Schoen, The role of harmonic mappings in rigidity and deformation problems, Complex geometry (Osaka, 1990), 179{200, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 143, Dekker, New York, 1993. MR 94g:58055
[9] J. Simons, Minimal varieties in riemannian manifolds, Ann. of Math. (2) 88(1968), 62-105.MR 38:1617
[10] N. Trudinger, X. Wang, The Bernstein problem for ane maximal hypersurfaces Invent.Math. 140(2000), no. 2, 399-422. MR 2001h:53016
[11] F. Xavier, The Gauss map of a complete non  at minimal surface cannot omit 7 points of the sphere, Ann. of Math. (2) 113(1981), no. 1, 211-214. MR 82b:53015; Erratum MR 83h:53016
[12] J. Wolfson, Minimal Lagrangian di eomorphisms and the Monge-Ampere equation, J. Dif-ferential Geom. 46 (1997), no. 2, 335{373. MR 99e:58045
[13] O'Neill. B  (1983), Semi-Riemannian Geometry, Academic Press, Orland. 
 
Đặng Văn Cường

» Các tin khác: