Khái niệm khoảng cách được chúng ta biết đến từ rất sớm trong chương trình phổ thông, từ khoảng cách giữa hai điểm đến khoảng cách giữa hai tập hợp (chủ yếu mới được giới thiệu khoảng cách giữa hai hình tròn). Đến chương trình toán ở đại học, khi khái niệm không gian Metric rồi không gian Định chuẩn ra đời, thì khái niệm hàm khoảng cách đóng vai trò thiết yếu cho các lĩnh vực này. Trong bài viết này tôi xin giới thiệu một cách sơ lượng về khái nệm các hàm khoảng cách và một số lớp hàm mở rộng của hàm khoảng cách, chúng được quan tâm nhiều trong thời gian gần đây.

Trong bài viết này chúng ta dùng ký hiệu || . || là hàm chuẩn (hàm độ dài) nó chung cho không gian $R^n$, không gian Metric hay không gian định chuẩn, được ký hiệu chung là X. Với $x,y \in X$, khoảng cách giữa hai điểm này là $|| x - y||.$

1. Hàm khoảng cách liên kết với một tập hợp.

Cho C là một tập con khác rỗng của X, hàm khoảng cách liên kết với C được xác định bởi

d(x,C) := inf{ ||x-w|| : w\in C }.

Dễ dàng nhận thấy rằng, hàm khoảng cách không là hàm khả vi nhưng nó cũng có một số tính chất đủ tốt đối với lý thuyết giải tích lồi. Cụ thể: 

(i)  $d(x,C) = 0$ khi và chỉ khi $x\in cl(C).$

(ii) Hàm $d(x,C)$ là hàm liên tục Lípchitz với hằng số Lipschitz l = 1 trên toàn không gian X.

Câu hỏi đặt ra là khi nào infimum trở thành minimum, và khi nào thì minimum này đạt được tại một điểm duy nhất? Một hình ảnh dễ thấy, nếu C là một hình tròn và x là một điểm nằm ngoài hình tròn thì infimum đạt được tại giao của đường tròn và cát tuyến nối x với tâm của C. Để trả lời câu hỏi này chúng ta đưa ra khái niệm hình chiếu từ một điểm x lên tập hợp C, nó được ký hiệu và xác định như sau

$\Pi (x,C) = {w \in C | ||x - w|| = d(x,C) }$.

Hình chiếu có một số tính chất quan trọng sau:

(i) Nếu C là tập con đóng khác rỗng của X thì với mọi $x \in X$ hình chiếu $\Pi (x,C)$ khác rỗng. 

(ii) Nếu C là tập lồi đóng, khác rỗng thì với mỗi $x \in X$ hình chiếu $\Pi (x,C)$ chứa duy nhất một điểm.

Hàm khoảng cách liên kết với tập hợp C có mối quan hệ mật thiết với tập hợp C, xét về tính chất. Điều này được thể hiện trong tính chất sau: Cho C là một tập đóng, d(x,C) là hàm lồi khi và chỉ khi C là một tập lồi.

2. Hàm Minkowski.

Hàm Minkowski liên kết với một tập hợp lồi đóng khác rỗng F là hàm được xác định

$\rho_F(x) = \inf {t \geq 0 | x \in tF}.$

Hàm Minkowski là là một mở rộng của hàm chuẩn. Điều này thể hiện, khi F là hình cầu đơn vị thì hàm Minkowski chính là hàm chuẩn.

3. Hàm minimal time.

Cho F là một tập lồi đóng khác rỗng, nó chứa gốc toạ độ như là một điểm trong và cho \Omge là một tập con khác rỗng của X. Hàm minimal time đối với mục tiêu \Omega và động lực F được ký hiệu và xác định

T_F(x,\Omega) := \int {t \geq 0 | \ (x + tF) \cap \Omega \ne \emptyset}.

Hàm minimal time có thể được biểu diễn lại dưới dạng

T_F(x;\Omega) = \inf {\rho_F(w - x) |  w\ \in \Omega}.

Khi F là hình tròn đơn vị của X thì hàm minimal time trở thành hàm khoảng cách liên kết với \Omega.

4. Hàm infimal convolution.

Cho $\phi$ là một hàm nhận giá trị thực trên X, f là một hàm thực mở rộng trên X, f: X \to (-\infty, \infty], với $dom(f) \ne \emptyset.$ Hàm infimal convolution được ký hiệu và và xác định

(f\oplus \phi)(x) := inf { f(w) + \phi(y - x) | w \in X}

Dễ dàng nhận thấy rằng

T_F(x,\Omega) = (\delta_{\Omega}\oplus \rho_F) (x),

với $\delat_{\Omega}$ là hàm chỉ định liên kết với $\Omega$ và được xác định $\delta_{\Omega}(x) = 0$ nếu $x\in \Omega,$ $\delta_{\Omega}(x) = \infty$ trong trường hợp còn lại. Vậy hàm infimal convolution là mở rộng của hàm minimal time.

Việc nghiên cứu tính chất của các lớp hàm này được các nhà Toán học, đặc biệt là các nhà giải tích không trơn quan tâm nhiều trong thời gian gần đây. Nó có ý đóng vai trò quan trọng về mặt lý thuyết lẫn thực nghiệm đối với lĩnh vực tối ưu.

Các bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham khảo sau:

Tài liệu tham khảo:

[1] A. Auslender, Differential stability in nonconvex and nondifferentiable programming, Math. Program. {\bf10} (1979), 29-41.

[2] H.H. Bauschke, X. Wang, J.J. Ye, X. Yuan, Bregman distance and Chebyshev sets, J. Approx. Theory. {\bf159} ( 2009), 3-25.

[3] J.M. Borwein and Q.J. Zhu, Techniques of Variational Analysis, Springer,CMS Books in Mathematics, Springer, New York, 2005.

[4] M. Bounkhel and L. Thibault, On various notions of regularity of sets in nonsmooth analysis, Nonlinear Anal. {\bf48} (2002),  223-246.

[5] J.V. Burke, M.C. Ferris and M. Qian, On the Clarke subdifferential of the distance function of a closed set, J. Math. Anal. Appl. {\bf166} (1992),  199-213.

[6] F.H. Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis, John Wiley \& Sons, Inc, New York, 1983.

[7] F.H. Clarke, Yu.S. Ledyaev, R.J. Stern and P.R. Wolenski, Nonsmooth Analysis and Control Theory, Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 1998.

[8] G. Colombo and P.R. Wolenski, The subgradient formula for the minimal time function in the case of constant dynamics in Hilbert space, J. Global Optim. {\bf 28} (2004), 269-282.

[9] G. Colombo and P.R. Wolenski, Variational analysis for a class of minimal time functions in Hilbert spaces, J. Convex Anal.\textbf{11} (2004), 335--361.

[10] D. G. De Figueiredo, Lectures on the Ekeland variational principle with applications and detours, Springer, West Germany, 1989.

[11] P.H.~Dien and N.D.~Yen, On implicit function theorems for set-valued maps and their application to mathematical programming under inclusion constraints, Appl. Math. Optim. {\bf24} (1991)  35--54.

[12] Y. He and K.F. Ng, Subdifferentials of a minimum time function in Banach spaces, J. Math. Anal. Appl. {\bf321} (2006)   896-910 .

[13] A. Jourani, L. Thibault, D. Zagrodny, Differential properties of the Moreau envelope, J. Funct. Anal. {\bf266} (2014) 1185--1237.

[14] Y. Jiang and Y. He, Subdifferentials of a minimum time function in normed spaces, J. Math. Anal. Appl. {\bf358}  (2009)  410-418.

[15] C. Li, On well posedness of best simultaneous approximation problems in Banach spaces, Sci. China Ser. A. {\bf12} (2001) 1558-1570.

[16] P.D. Loewen, A mean value theorem for Fr\'echet subgradients, Nonlinear Anal. {\bf23} (1994) 1365-1381.

[17] L. Meng, C. Li, and Jen-Chih Yao, Limiting subdifferentials of perturbed distance functions in Banach spaces, Nonlinear Anal. {\bf75} (2012) Issue 3 1483-1495.

[18] B.S. Mordukhovich, Variational Analysis and Generalized Differentiation. I: Basic Theory,Grundlehren Series (Fundamental Principles of Mathematical Sciences),  {\bf330}, Springer, Berlin, 2006.

[19] B.S. Mordukhovich and N.M. Nam,  Subgradients of minimal time functions under minimal assumptions, J. Convex Anal. {\bf 18} (2011) 915--947.

[20] J.-J. Moreau, Fonctions convexes duales et points proximaux dans un espace Hilbertien, Reports of the Paris Academy of Sciences, Series A. {\bf 255} (1962) 2897-2899.

[21] N.M. Nam, M.C. Villalobos, N.T. An, Minimal time functions and the smallest Intersecting ball problem with unbounded dynamics, J. Optim. Theory Appl.  {\bf154} (2012)  768-791.

[22] N.M. Nam, Subdifferential formulas for a class of nonconvex infimal convolution, e-print (2014).

Đặng Văn Cường

» Tin mới nhất:

• CÁC NGUYÊN TẮC SƯ PHẠM VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CHỦ YẾU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG GIẢNG DẠY CHẤT HỮU CƠ - PHẦN: HYDROCACBON NO (tiếp theo) (18/07/2022)
• Tính các giá trị thống kê thực nghiệm bằng phần mềm Excel (11/07/2022)
• Ước lượng cho phương sai của tổng thể bằng Minitab (19/06/2022)
• CÁC HIỆN TƯỢNG ĐẶC BIỆT CỦA ĐIỆN TỬ TRONG BÁN DẪN III-V (19/06/2022)
• CÁC NGUYÊN TẮC SƯ PHẠM VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CHỦ YẾU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG GIẢNG DẠY CHẤT HỮU CƠ - PHẦN: HYDROCACBON NO (tiếp theo) (18/06/2022)

» Các tin khác:

• Tinh dầu tỏi - Phần 2: Tinh dầu tỏi (10/11/2014)
• Tinh dầu tỏi - Phần 1: Tổng quan cây tỏi (16/10/2014)
• Một số giải pháp nhằm đẩy mạnh công tác nghiên cứu khoa học của giảng viên (17/08/2014)
• Đào tạo theo học chế tín chỉ, vấn đề đặt ra đối với các học phần thuộc khối khoa học tự nhiên (17/08/2014)
• Trường trùng pháp (Binormal field) đối với mặt trong không gian R^4 (15/08/2014)
• Hình học Minkowski và hạt vật chất (18/05/2014)
• Một giới thiệu tổng quan về Bài Toán cân bằng Nash - Vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm (17/02/2014)
• Trung Quốc thưởng cho nhà khoa học có công bố quốc tế như thế nào? (18/01/2014)
• Một giới thiệu tổng quan về Dưới vi phân của hàm lồi - Giải tích lồi (17/01/2014)
• Phân biệt tên gọi SCI, SCIE cho các ấn phẩn khoa học (17/01/2014)