• KHOA
    KHOA HỌC TỰ NHIÊN

    Phụ trách các học phần thuộc Khối kiến thức giáo dục đại cương trong các chương trình đào tạo tại Trường Đại học Duy Tân.

  • KHOA
    KHOA HỌC TỰ NHIÊN

    Đảm nhận các học phần Toán học, Vật lý, Hóa học và Sinh học ở các chương trình đào tạo của Trường.

  • KHOA
    KHOA HỌC TỰ NHIÊN

    Xây dựng chương trình, kế hoạch giảng dạy và chủ trì tổ chức quá trình đào tạo các học phần Toán học, Vật lý, Hóa học và Sinh học đại cương.

15/08/2014 08:56:08 PM
Nghiên cứu khoa học
Trường trùng pháp (Binormal field) đối với mặt trong không gian R^4

Khái niệm vector trùng pháp được chúng ta làm quen đầu tiên với đường trong $R^3.$ Đó là vector đồng thời trực giao với vector tiếp tuyến và vector pháp tuyến chính. Trường trùng pháp cho thông tin về tính phẳng của một đường cong: Đường cong là phẳng khi và chỉ khi trường trùng pháp là một trường hằng.

Mở rộng lên mặt (2 chiều) trong không gian 4-chiều $R^4$ khái niệm trường trùng pháp được xây dựng thông qua sự suy biến của ánh xạ Gauss liên kết với một trường vector pháp.  Một trường vector pháp được gọi là trường trùng pháp nếu ánh xạ Gauss liên kết với nó bị suy biến. Khi ánh xạ Gauss suy biến thì đồng nghĩa với ma trận ánh xạ Gauss có ít nhất một giá trị riêng bằng 0, khi cả hai giá trị riêng bằng 0 thì mặt đã cho được gọi là mặt flat. Trường vector riêng tương ứng với giá trị riêng bằng 0 được gọi là trường tiệm cận của mặt.

Các tính chất hình học của mặt sau đó cũng được đưa ra thông qua sự tồn tại của các trường trùng pháp trên mặt. Một mặt tồn tại hai trường trùng pháp và tại mỗi điểm hai trường tiệm cận vuông góc với nhau khi và chỉ khi nó lồi địa phương.  Mối quan hệ tương đương giữa mặt semi-umbilic, mặt có hai trường tiệm cận tại mọi điểm trực giao với nhau, mặt có độ cong Gauss bằng không cũng đã được chỉ ra. Với mặt mà mọi trường vector pháp là trường trùng pháp thì Little đã chỉ ra nó chỉ có thể là mặt kẻ khả triển.

Việc nghiên cứu trường trùng pháp với mặt đối chiều cao hơn 2 vẫn đang là một vấn đề mở và hứa hẹn nhiều kết quả thú vị cho lĩnh vực này.

Tài liệu tham khảo:

[1] D. V. Cuong and D. Th. Hieu, $HS_r$-valued Gauss maps and umbilic spacelike sufaces of codimension two, arXiv: $11022527v2$ [math.DG], e-prints, (2011).
[2] D. V. Cuong, $LS_{\lowercase {r}}$-valued Gauss maps and spacelike surfaces of revolution in $\mathbb R_1^4$,	arXiv:1105.5690v3 [math.DG], e-prints, (2011).
[3] D. Dreibelbis , Singularities of the Gauss map and the binormal surface, Adv. Geom. 3 (2003), 453-468.
[4] M. Dajzer and R. Tojeiro,  All superconformal surfaces in $\mathbb R^4$ in term of minimal surfaces, arXiv: $07105317v2$ [math.DG], 2007.
[5] M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and surfaces, China Machine Press.
[6] D. A. Hoffman and R. Osserman}, The Gauss map of surfaces in $R\sp{n}$, J. Differential Geom. 18 (1983), no. 4, 733-754.
[7] S. Izumiya, D. Pei and T. Sano}, The lightcone Gauss map and the lightcone developable of a spacelike curve in Minkowski 3-space. Glasgow. Math. J (42),  (2000) 75-89.
[7] J. A. Little}, On singularities of submanifolds of higher dimensional Euclidean pace. Ann. Mat. PuraAppl. (Ser 4A) 83(1969), 261-336.
[8] S. Izumiya, D-H. Pei and T. Sano, Singularities of hyperbolic Gauss maps. Proceedings of the London Mathematical Society (86), (2003) 485-512.
[9]  D. K. H. Mochida, M.C. Romero Fuster, M.A. S. Ruas, The Geometry of Surfaces in 4-Space from a Contact Viewpoinr, Geom. Dedicata 54 (1995), 323-332.
[10] D. K. H. Mochida, M.C. Romero Fuster, M.A. S. Ruas}, Osculating hyperplanes and asymptotic directions of codimension 2-submanifolds of Euclidean spaces, Geom, Dedicata (1999) 305-312.
[11] M.C. Romero Fuster, F. S¸nchez-Bringas,Umbilicity of surfaces with orthogonal asymptotic lines in $\mathbb R^4$, Journal of Diff. Geom. and Appl. 16 (2002), 213-334.

Đặng Văn Cường

 

» Các tin khác: