Như chúng ta đã biết, đạo hàm là công cụ cơ bản và cổ điển nhất nghiên cứu các tính chất của hàm như tính tăng, giảm, các điểm cực trị,.... Tuy nhiên đạo hàm chỉ có thể tính đối với lớp hàm có đạo hàm (hàm khả vi) nhưng lớp hàm khả vi lại không phải là lớp hàm thường xuất hiện trong các bài toán thực tiễn. Dưới vi phân có thể thay thế đạo hàm khi lớp hàm chúng ta xét chỉ cần lồi mà không nhất thiết phải khả vi.

- Thông thường các lớp hàm xuất hiện trong các vấn đề thực tiễn là các hàm lồi nhưng không khả vi, chẳng hạn như hàm khoảng cách hay hàm max, hàm min...vậy nên các bài toán tối ưu sẽ không tìm thấy lối thoát khi sử dụng công cụ đạo hàm. Dưới vi phân có thể áp dụng vào để khảo sát tính cực tiểu của các lớp hàm này và có thể cho các lời giải đẹp cho các lớp hàm này.

- Khái niệm dưới vi phân được xây dựng vào những năm 1960, nó là một khái niệm hoàn toàn mới đối với các giảng viên trẻ. Việc nghiên cứu làm nâng cao kiến thức chuyên môn, cập nhật khối kiến thức mới và tiếp cận với xu hướng Toán học của thế giới.

       Khái nệm dưới vi phân của hàm lồi được  Jean Jacques Moreau và R. Tyrrell Rockafellar đưa ra vào những năm đầu những năm sáu mươi của thế kỷ 20. Đến những năm 1980 thì hai tác giả này cũng đưa ra khái niệm dưới vi phân tổng quát đối với hàm không lồi.

- Khái niệm dưới vi phân là một khái niệm mở rộng của khái niệm vi phân đối với hàm lồi. Trong khi phép tính vi phân chỉ được thực hiện trên các lớp hàm khả vi thì khái niệm dưới vi phân được xác định mà không quan tâm đến tính khả vi của hàm. Điều đáng quan tâm là khi hàm lồi khả vi thì khái niệm dưới vi phân trùng với khái niệm vi phân.

- Khái niệm dưới vi phân ra đời mở ra một kỷ nguyên mới cho lĩnh vực giải tích không trơn phát triển rực rỡ. Trong khi các các hàm tối ưu không khả vi đang gặp lúng túng khi giải quyết các bài toán thực tiển thì dưới vi phân trở thành một chìa khóa để mở cánh cửa để bước vào căn phòng đầy bí ẩn và hấp dẫn này.

- Gần đây dưới vi phân đã đi sâu vào các bài toán thực tiển như bài toán Fermat-Torricelli mở rộng, bài toán hình cầu nhỏ nhất,....

Các tài liệu dưới đây có thể cung cấp cho các bạn đọc những thông tin chi tiết hơn của dưới vi phân hàm lồi.

[1] J. F. Nash, Non-cooperative games, Doctoral thesis, Princeton University, 1950.

[2] J. F. Nash, Equilibrium points in N-person games, Proc. Nat. Acad. Sci. vol. 36, p.p. 4849, 1950.

[3] M. Patriksson and R. T. Rockafellar, Variational Geometry and equilibrium, in Nonconvex Optimization and its Applications (P. Daniele, F. Giannessi and A. Maugeri, eds.), Kluwer, 2003.

[4] R. T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1970.

[5] J. Shapiro, Equilibrium in non-cooperative games, Online Lecture Notes, 2013.

       [6] E. Zeidler, Applied Functional Analysis. Applications to Mathematical Physics, Springer, 1997.

TS. Đặng Văn Cường

» Tin mới nhất:

• CÁC NGUYÊN TẮC SƯ PHẠM VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CHỦ YẾU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG GIẢNG DẠY CHẤT HỮU CƠ - PHẦN: HYDROCACBON NO (tiếp theo) (18/07/2022)
• Tính các giá trị thống kê thực nghiệm bằng phần mềm Excel (11/07/2022)
• Ước lượng cho phương sai của tổng thể bằng Minitab (19/06/2022)
• CÁC HIỆN TƯỢNG ĐẶC BIỆT CỦA ĐIỆN TỬ TRONG BÁN DẪN III-V (19/06/2022)
• CÁC NGUYÊN TẮC SƯ PHẠM VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CHỦ YẾU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG GIẢNG DẠY CHẤT HỮU CƠ - PHẦN: HYDROCACBON NO (tiếp theo) (18/06/2022)

» Các tin khác:

• Phân biệt tên gọi SCI, SCIE cho các ấn phẩn khoa học (17/01/2014)
• Động học Newtonian và Hamiltonian (14/11/2013)
• Dùng nhà khoa học giả lật tẩy báo mạng dỏm (07/10/2013)
• Không gian Newton và thời gian Newton - Không gian với thời gian Newton (11/09/2013)
• Quy định xử phạt vi phạm trong lĩnh vực khoa học (02/07/2013)
• Giữa hai điểm là gì? (04/06/2013)
• Nhà Toán học nổi tiếng bị lãng quyên (04/06/2013)
• Lý thuyết tương đối tổng quát - Kỳ 1: Không gian - Thời gian (Không gian Lorentz-Minkowski) (17/05/2013)
• Nghiên cứu một số lớp mặt đối chiều hai Spacelike trong không gian Lorentz-Minkowski (19/02/2013)
• Một số tính chất địa phương (phẳng - dẹt) của mặt đối chiều hai spacelike trong không gian Lorentz-Minkowski (13/01/2013)