Định lý Bernstein cổ điển được phát biểu cho mặt cực tiểu trong R^3, nó khẳng định rằng chỉ có mặt phẳng là loại mặt duy nhất của mặt cực tiểu được cho dưới dạng đồ thị mà xác định trên R^2. Kết quả này được chứng minh bởi Bernstein vào những năm 1927. Điểm thú vị của định lý thể hiện ở chỗ, với một mặt cho dưới dạng đồ thị và là nghiệm của phương trình mặt cực tiểu xác định trên D.

Nếu D là một miền đóng và bị chặn thì nó có nghiệm duy nhất, nếu D là một miền mở và bị chặn thì bài toán có vô số nghiệm nhưng khi D = R^2 thì nghiệm của bài toán là duy nhất và nó là một mặt phẳng. Kết quả này được mở rộng lên các siêu mặt trong R^3 vào năm 1965 bởi E. De Giorgi, lên R^4 bởi J.F. Almgren vào năm 1966. Kết quả tiếp tục được chứng minh là đúng với R^7 bởi J. Simons, và cũng xuất phát từ ý tưởng chứng minh cho trường hợp R^7 của J.Simons, E. Bombỉei, E. De Giorgi và E. Giuiti đã cho phản ví dụ khẳng định việc mở rộng định lý Bernstein không còn đúng với R^8 vào năm 1969. Và điều này cũng có nghĩa định lí Bernstein đã được giải quyết xong cho trường hợp R^n.

Hoàn toàn tương tự mặt cực tiểu trong R^n định lý Bernstein cũng được phát biểu cho mặt cực đại trong không gian Lorentz-Minkowski. Khác với mặt cực tiểu trong R^n với mặt cực đại trong không gian Lorentz-Minkowski, định lí Bernstein đùng với mọi n.

Việc mở rộng kết quả của định lí Bernstein với các hướng mở rộng khác nhau như mở rộng lên đối chiều cao, mở rộng lên không gian tích các đa tạp hay mở rộng lên đa tạp với mật độ,… đang là những vấn đề thời sự và được các nhà hình học quan tâm. Các nhà hình học cũng đang hướng đến việc mở rộng Định lý kiểu Bernstein cho các mặt đối chiều cao và mặt trong các không gian tích có gia trọng.

Đ. V. Cường

» Tin mới nhất:

• CÁC NGUYÊN TẮC SƯ PHẠM VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CHỦ YẾU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG GIẢNG DẠY CHẤT HỮU CƠ - PHẦN: HYDROCACBON NO (tiếp theo) (18/07/2022)
• Tính các giá trị thống kê thực nghiệm bằng phần mềm Excel (11/07/2022)
• Ước lượng cho phương sai của tổng thể bằng Minitab (19/06/2022)
• CÁC HIỆN TƯỢNG ĐẶC BIỆT CỦA ĐIỆN TỬ TRONG BÁN DẪN III-V (19/06/2022)
• CÁC NGUYÊN TẮC SƯ PHẠM VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CHỦ YẾU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG GIẢNG DẠY CHẤT HỮU CƠ - PHẦN: HYDROCACBON NO (tiếp theo) (18/06/2022)

» Các tin khác:

• Nghiên cứu mới về chụp ảnh tốc độ 1000 tỷ khung hình một giây. (11/11/2015)
• Mô hình đầu tư cho khoa học (29/09/2015)
• Morphin (18/08/2015)
• Hương chanh - Phần 3 (18/08/2015)
• Hội nghị vật lý chất rắn và khoa học vật liệu toàn quốc lần thứ 9 (SPMS2015) (07/08/2015)
• Hiện tượng dập tắt phát quang do nồng độ pha tạp (07/08/2015)
• Ảnh hưởng của tán xạ nhám rào thế lên bề rộng vạch hấp thụ quang học giữa các vùng con trong giếng lượng tử (07/08/2015)
• Lưu ý khi làm khít phổ phát quang trong phân tích quang phổ (16/06/2015)
• Hương chanh - Phần 2 (18/05/2015)
• Hương chanh - Phần 1 (18/04/2015)