• KHOA
    KHOA HỌC TỰ NHIÊN

    Phụ trách các học phần thuộc Khối kiến thức giáo dục đại cương trong các chương trình đào tạo tại Trường Đại học Duy Tân.

  • KHOA
    KHOA HỌC TỰ NHIÊN

    Đảm nhận các học phần Toán học, Vật lý, Hóa học và Sinh học ở các chương trình đào tạo của Trường.

  • KHOA
    KHOA HỌC TỰ NHIÊN

    Xây dựng chương trình, kế hoạch giảng dạy và chủ trì tổ chức quá trình đào tạo các học phần Toán học, Vật lý, Hóa học và Sinh học đại cương.

18/11/2021 11:54:55 AM
Nghiên cứu khoa học
Giới thiệu về phương pháp Stein

     Phương pháp Stein là một phương pháp dùng để chứng minh sự hội tụ của một dãy đại lượng ngẫu nhiên. Cụ thể là nó dùng để đánh giá khoảng cách của 2 độ đo xác suất.

     Giả sử \(X_1,...,X_n \in \mathbb{R}\) là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối có giá trị trung bình là 0 và phương sai là 1. Đặt \[X=\frac{\sum_{i}X_i}{\sqrt{n}}\] và \(Z\sim N(0,1)\).Chúng ta muốn chặn đại lượng sau \[\Delta_n = \sup_{z}|P(X\leq z) - P(Z \leq z)|=\sup_{z}|P(X\leq z) - \Phi(z)|\] với \(\Phi\) là hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc. Phương pháp Stein, đúng hơn, là tập hợp của các phương pháp dùng để chặn \(\Delta_n\) (hoặc cái đại lượng tương tự như \(\Delta_n\)). Như vậy, khi \(\Delta_n\) tiến tới 0, ta thu được định lý giới hạn trung tâm.

     Ý tưởng cho phương pháp Stein nằm ở điểm sau: \[EZf(Z)=Ef'(Z) \ \ \text{ đúng với mọi hàm đủ trơn}\ \ f\ \ \text{nếu và chỉ nếu}\ \ Z \sim N(0,1).\] Điều này gợi ý rằng \(X\) là "gần" phân phối chuẩn tắc nếu \(EXf(X)-Ef'(X)\) gần tới 0. Cụ thể hơn, giả sử \(h\) là một hàm số nào đó sao cho\(E|h(Z)|<\infty\), hàm Stein \(f_h\) tương ứng với hàm \(h\) là một hàm thỏa mãn phương trình vi phân sau \[f_h'(x)-xf_h(x)=h(x)-E[h(Z)]. \qquad (1)\] Điều này dẫn tới \[E[h(X)]-E[h(Z)]=E[f_h'(X)-Xf_h(X)].\] Như vậy thay vì để chỉ ra rằng \(X\) gần với phân phối chuẩn ta chứng minh \(E[f_h'(X)-Xf_h(X)]\) là tiến tới 0. Câu hỏi đặt ra là có hàm số \(f_h\) tương ứng với hàm \(h\) hay không? Câu trả lời là có, hàm Stein được xác định như sau \[f(x)=f_h(x)=e^{x^2/2}\int_{-\infty}^{x}[h(y)-\mu]e^{-y^2/2}dy,\] ở đây \(\mu = E[h(Z)]\). Chú ý rằng nếu ta chọn \(h(z)= \mathbb{1}_{(-\infty,z]}\), chúng ta có thể viết lại phương trình (1) như sau \[P(X\leq z)-P(Z \leq z)=E[f_h'(X)-Xf_h(X)]\] Như vậy, \[\Delta_n = \sup_{z}|P(X\leq z) - P(Z \leq z)| = \sup_{h}|E[f_h'(X)-Xf_h(X)]|,\] với \(h\) có dạng \(\mathbb{1}_{(-\infty,z]}, z \in \mathbb{R}\).

     Kết luận: Phương pháp Stein cho phép ta, thay vì cần đánh giá \(\Delta_n = \sup_{z}|P(X\leq z) - P(Z \leq z)|\) ta đánh giá \(\sup_{h}|E[f_h'(X)-Xf_h(X)]|\). Chú ý rằng, giá trị trước phụ thuộc vào biến ngẫu nhiên chuẩn tắt \(Z\), trong khi đó giá trị sau thì không.

     Tài liệu tham khảo: Sourav Chatterjee, Lecture notes: Stein's method and application.

» Các tin khác: