Nguyên văn Định Lý Gödel được trình bầy bằng ngôn ngữ logic hình thức, rất khó hiểu đối với những người không chuyên ngành. Nhưng may thay, nó đã được phiên dịch sang ngôn ngữ thông thường để bất cứ ai cũng có thể hiểu được. Gọi chung là Định Lý Bất Toàn nhưng thực ra có hai định lý. Cả hai đều chỉ ra rằng toán học về bản chất là bất toàn (không đầy đủ), vì nó luôn chứa đựng những mệnh đề không quyết định được (undecidable), tức những mệnh đề không thể chứng minh và cũng không thể bác bỏ.

Định lý 1: Nếu một lý thuyết dựa trên một hệ tiên đề phi mâu thuẫn thì trong lý thuyết ấy luôn luôn tồn tại những mệnh đề không thể chứng minh cũng không thể bác bỏ.

Định lý 2: Không tồn tại bất cứ một quy trình suy diễn nào cho phép chứng minh tính phi mâu thuẫn của một hệ tiên đề.

Chẳng hạn, hãy xét mệnh đề được đóng khung sau đây:

Chú ý rằng đó là một mệnh đề nói về chính nó.

Nếu mệnh đề trên sai, suy ra phủ định của nó đúng, tức là nó có thể chứng minh được, nhưng kết luận này trái với nội dung của chính nó. Vậy buộc nó phải đúng, tức là không thể chứng minh được.

Phiên dịch ngược mệnh đề trên sang ngôn ngữ của logic toán, chúng ta sẽ có một mệnh đề toán học đúng nhưng không thể chứng minh được.

Đặc trưng của loại mệnh đề này là ở chỗ nó nói về chính nó, vì thế chúng được gọi là “mệnh đề tự quy chiếu” (self-referential statements).

Từ xa xưa, khoảng 600 năm trước CN, một nhà thơ kiêm triết gia cổ Hy Lạp là Epimenides ở xứ Cretan cũng đã nêu lên một mệnh đề về một kẻ tự nói về mình, “Ta là kẻ nói dối!” (I am a liar!), để khuyến cáo các nhà thông thái về cái vòng logic luẩn quẩn của những mệnh đề tự nói về mình. Mệnh đề này rất nổi tiếng và đã đi vào lịch sử triết học, ngôn ngữ học, logic học với tên gọi “Nghịch lý Cretan” hay “Nghịch lý Epimenides”.

Siêu Toán Học xét cho cùng chính là một hệ thống toán học tự quy chiếu, bởi vì nó dùng toán học để phán xét chính bản thân toán học!

Vậy Chương Trình Hilbert ắt phải sa vào cái vòng logic luẩn quẩn, như một kẻ đi tìm điểm cuối cùng trên một đường tròn vậy. Chính Nghịch Lý Russell đã chỉ ra cái vòng luẩn quẩn trong Số Học của Frege, nhưng đáng tiếc là Russell lại không nhận ra bản chất bất toàn của logic toán học, nên ông lại tìm mọi cách “khắc phục” sai lầm của Frege, hòng tiếp tục giương cao ngọn cờ của Chủ Nghĩa Hình Thức. Phải đợi đến khi Định Lý Gödel ra đời thì Chủ Nghĩa Hình Thức mới thật sự bị khai tử! Thật vây:

● Nếu Chương trình Hilbert có tham vọng xác định rứt khoát tính trắng/đen, đúng/sai của bất kỳ một mệnh đề nào thì Định Lý Gödel lại khẳng định toán học tồn tại những mệnh đề không thể quyết định được!

● Nếu Chương trình Hilbert muốn chứng minh tính phi mâu thuẫn của toàn bộ toán học thì Định Lý Gödel lại khẳng định không tồn tại một quy trình nào để chứng minh tính phi mâu thuẫn của một hệ tiên đề!

Cụ thể, Hilbert muốn chứng minh tính phi mâu thuẫn của Hệ Tiên Đề Số Học (bài toán số 2 trong số 23 bài toán Hilbert thách thức thế kỷ 20), nhưng Định Lý Gödel khẳng định rằng bài toán ấy là vô vọng.

Định lý 2 có thể nói rõ hơn như sau: Không thể kiểm tra tính phi mâu thuẫn của một hệ thống A nếu chỉ sử dụng những tiên đề của hệ A, bởi vì trong hệ A luôn tồn tại những mệnh đề không quyết định được. Muốn kiểm tra tính phi mâu thuẫn của hệ A, buộc phải đi ra ngoài hệ A để bổ sung thêm những tiên đề mới cho A. Khi đó ta có một hệ thống mới, gọi là A mở rộng, trong A mở rộng lại xuất hiện những mệnh đề mới không quyết định được. Quy trình đó cứ tiếp diễn mãi và rốt cuộc là chẳng bao giờ đi tới đích cuối cùng. Vậy tham vọng tìm kiếm “Con Voi Toán Học” là BẤT KHẢ!

Sự thật tưởng như đã quá rõ, vậy mà “bóng ma” của Chủ Nghĩa Hình Thức vẫn tiếp tục ám ảnh nhiều nhà toán học và giáo dục cho đến tận hôm nay. Đó là trào lưu “Toán Học Mới” ở phương Tây những năm 1960, và là hiện tượng “dạy giả + học giả” ở nước ta hiện nay mà báo chí không ngừng phàn nàn kêu ca.

Nhưng nếu toàn bộ cộng đồng toán học mà bảo thủ như vậy thì ai là người đã đưa tên tuổi Gödel trở lại đúng vị trí và tầm vóc của ông như hôm nay? Tại sao tạp chí TIME lại tôn ông là nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 20?

Đó là nhờ công sức của những nhân vật lỗi lạc mà chủ yếu đều hoạt động trong lĩnh vực khoa học computer. Đầu tiên phải nhắc đến John von Newman, một nhà khoa học phi thường, một trong những ông tổ của khoa học computer tại Mỹ. Vốn là một cộng sự đắc lực trong Chương Trình Hilbert, nhưng ngay sau khi biết Định Lý Gödel, Newman đã lập tức huỷ bỏ các bài giảng theo chủ nghĩa hình thức để thay thế bằng Định Lý Gödel. Cùng với những công trình của Alan Turing và Alonso Church, và sau này của Gregory Chaitin, giới khoa học computer càng ngày càng nhận thấy Định Lý Gödel có ý nghĩa lớn hơn rất nhiều so với trước đây người ta tưởng: Ý nghĩa ấy vượt ra khỏi phạm vi toán học, bao trùm lên hàng loạt ngành khoa học mũi nhọn trong xã hội hiện đại, đặc biệt là khoa học computer, và cuối cùng là ý nghĩa sâu xa về triết học nhận thức.

Ý nghĩa triết học đó đã được chính Gödel nói rõ: “Ý nghĩa của cuộc sống là ở chỗ biết phân biệt ước muốn với hiện thực”!

Hệ thống giáo dục hiện đại có quá nhiều ước muốn – ước muốn tiến thật nhanh, ước muốn biến trẻ em thành những “thần đồng” – nhưng lại chẳng hiểu gì về khái niệm giới hạn của nhận thức mà truyện ngụ ngôn “Thầy Bói Xem Voi”⁽¹³⁾ của John Saxe đã nói từ lâu và Định Lý Gödel đã khẳng định một cách không thể chối cãi được dưới dạng toán học!

Vậy trong khi giới khoa học và công nghệ computer thấy rõ ý nghĩa trọng đại của Định Lý Gödel để hướng nghiên cứu vào những đề tài thực tiễn, dẫn tới cuộc cách mạng thông tin ngày nay, thì nền giáo dục phổ thông lại khư khư ôm chặt cái tinh thần “cổ lỗ sĩ” của Chủ Nghĩa Hình Thức, biến sự học thành “hư học”, tụt hậu, không theo kịp đà phát triển của khoa học và công nghệ. Đó là một nghịch lớn về giáo dục. Nghịch lý ấy xuất phát từ chỗ không nhận thức được ý nghĩa và tầm vóc của Định Lý Gödel.

Phước Thể.

Nguồn sưu tầm: http://vietsciences.free.fr/timhieu/trietly-giaoduc/thayboixemvoi4.htm

» Tin mới nhất:

• CÁC NGUYÊN TẮC SƯ PHẠM VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CHỦ YẾU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG GIẢNG DẠY CHẤT HỮU CƠ - PHẦN: HYDROCACBON NO (tiếp theo) (18/07/2022)
• Tính các giá trị thống kê thực nghiệm bằng phần mềm Excel (11/07/2022)
• Ước lượng cho phương sai của tổng thể bằng Minitab (19/06/2022)
• CÁC HIỆN TƯỢNG ĐẶC BIỆT CỦA ĐIỆN TỬ TRONG BÁN DẪN III-V (19/06/2022)
• CÁC NGUYÊN TẮC SƯ PHẠM VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CHỦ YẾU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG GIẢNG DẠY CHẤT HỮU CƠ - PHẦN: HYDROCACBON NO (tiếp theo) (18/06/2022)

» Các tin khác:

• Ý nghĩa và tầm vóc của Định Lý bất toàn (31/07/2016)
• Nghiên cứu khoa học khoa của bộ môn Vật lý khoa KHTN năm 2015-2016 (17/06/2016)
• Ứng dụng các mô hình vật lý trong nghiên cứu hành vi của sinh vật (15/04/2016)
• Truyền năng lượng giữa các tâm quang học (18/03/2016)
• Mô hình q-potts ứng dụng vào nghiên cứu hành vi chuyển pha trong hệ các loài sinh vật (11/03/2016)
• Thống kê hoạt động chuyên môn và Nghiên cứu khoa học khoa KHTN học kỳ 1 năm 2015-2016 (16/01/2016)
• Kết quả nghiên cứu khoa học bộ môn vật lý năm 2015-2016 (29/12/2015)
• Khả năng quan sát của các loài sinh vật (P2) (18/12/2015)
• Khả năng quan sát của các loài sinh vật (P1) (18/12/2015)
• Định lý Bernstein - Lịch sử và những hướng nghiên cứu mới (17/12/2015)