Thời đại mới bắt đầu với Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), “vị hoàng tử của toán học”. Giống như Archimedes đã ảnh hưởng sâu đậm nền khoa học của thời đại tiền Hi Lạp và Newton khống chế thời kì hậu Elizabeth, Gauss thống trị nền toán học thế kỉ 19. Ông vốn là một thần đồng toán học, có thể làm tính số học lúc mới lên 3, và quen thuộc với các chuổi vô hạn khi được khoảng 10 tuổi. Lí thuyết số (theory of numbers) hiện đại bắt nguồn từ công trình đồ sộ của ông tên Disquisitiones Arithmeticae, công bố năm 1801. Với quyển sách về Cơ học thiên thể (celestial mechanics), Gauss được nhận như nhà toán học đứng đầu của châu Âu. Công trình của ông ngắn gọn và rõ ràng, và đặc trưng bằng việc chứng minh chặt chẽ. Mặc dù các cột mốc trong hầu hết các ngành toán học đều mang tên ông, Gauss bộc lộ xu hướng cá nhân mạnh mẽ về một ngành khi nói rằng “toán học là nữ hoàng của khoa học, và lí thuyết số lại là nữ hoàng của toán học”.

Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)

Cùng với việc mở đầu thế kỉ mới, sáng tạo toán học bắt đầu gia tăng tột bậc, đến năm 1990 đã cho ra số công trình nhiều gấp khoảng năm lần số công trình hoàn thành trong tất cả các giai đoạn trước đó. Với sự phong phú cao độ về nguồn tài liệu, toán học đã trở nên một bộ môn rộng lớn đến nổi mỗi đầu óc riêng lẻ không còn đủ sức để thông hiểu hết tất cả mọi ngành được nữa. Ngoại trừ một ít người có trình độ thông minh tuyệt đỉnh như Gauss, Riemann, Klein, và Poincaré, các nhà toán học nói chung bị buộc phải tư giới hạn các cố gắng của họ vào một ngành chính nào đó như đại số, hình học, hay giải tích. Diện mạo toán học cũng có nhiều thay đổi khác xảy ra. Ưu thế của các viện hàn lâm khoa học được hoàng gia bào trợ giảm sút nhanh chóng, và việc nghiên cứu trở nên một chức năng quan trọng của các trường đại học. Trong nội bộ toán học, các nhà toán học ngày càng trở nên tự phê phán hơn. Việc đòi hỏi một sự chặt chẽ mới trong tất cả các chứng minh và việc không tin cậy vào trực giác của họ làm nẩy sinh ngành logic tượng trưng và tiên đề hoá.

Từ đây trở đi, một sự liệt kê tuần tự chặt chẽ theo thời gian các tiểu sử không còn đủ sức phát hoạ được sự tiến bộ của toán học, vi thế sẽ đuợc thay bằng một loạt các tường thuật, mỗi tường thuật đi theo một chủ đề nhỏ giống như một trong những tường thuật phía trên. Sẽ có những trùng lặp không tránh khỏi về tên tuổi, thời gian và ý tưởng, nhưng toàn cảnh của bức tranh tổng thể sẽ được cố gắng hết mức để giữ cho nguyên vẹn.

Trong khi khoa vật lí và kĩ thuật tiếp tục thu lượm những phần thưởng từ toán vi tích phân, bản thân toán học cũng bắt đầu hưởng lấy những lợi ích từ tinh thần cách mạng đang lan tràn trong thế giới phương Tây. Ở Pháp, sự đổ nhào của chế độ quân chủ và thời kì Napoléon kế đó đã tạo ra một môi trường lí tưởng cho việc cấy trồng những tư tưởng mới. Trong bầu không khí này, Évariste Galois, một thanh niên thông minh và có tính khí khác thường, từng bị đuổi học và vào tù, đã được sinh ra. Mặc dù có các xáo trộn giáo dục và chính trị thường xuyên, Galois đã dành phần lớn thời giờ của mình cho đại số – môn học vào lúc đó chỉ gần như là số học khái quát hoá, nhưng các bài viết của ông không được chú ý. Năm 1832, trước sinh nhật thứ 21 không lâu, Galois đã bị giết chết khi dính vào một trận thách đấu. Đêm trước “sự việc vì danh dự” đó, ông đã thảo nhanh một bức thư gửi bạn, trong đó có ghi “Tôi đã hoàn tất một vài khám phá mới trong giải tích…. Tôi hi vọng, sau này sẽ có người tìm thấy nó để trình bài lại sáng sủa tất cả mớ hỗn độn này cho lợi ích của mình.” “Cái mớ hỗn độn này” chính là lí thuyết nhóm, nền móng của giải tích và hình học hiện đại. Niels Henrik Abel, một nhà toán học Na Uy cùng thời và cũng mất trước tuổi 30, cũng đã độc lập làm ra công trình theo hướng này.

 
Evariste Galois (1811-1832)

Niels Henrik Abel (1802 – 1829)

Việc giải phóng đại số khỏi sự phụ phuộc vào số học đã đưa môn học này tiến một buớc nhảy vọt với sự khám phá ra quaternion bởi William Rowan Hamilton (1805 – 1865) – một nhà toán học và thiên văn Ireland [Ai-lan] (Ái nhĩ lan). Hamilton là một thần đồng, vào tuổi 12 đã sử dụng được 12 ngôn ngữ. Ông dùng phần lớn thời gian đầu trong sự nghiệp khoa học của mình để ứng dụng toán học vào các lí thuyết vật lí, đặc biệt là quang học và cơ học. Năm 1835 ông chuyển sự chú ý của mình vào đại số, và 8 năm sau đó khám phá ra quaternion. Nói một cách thô thiển, hệ các quaternion là một khái quát quá của hệ số phức và phép nhân các quaternion là một ví dụ đầu tiên đáng giá về một phép toán không giao hoán. Chẳng bao lâu các lớp tổng quát các đại số đã ra đời từ công trình nặng về hình học của Hermann Grassmann, và môn học này đã bước hẵn trên con đuờng đi vào trừu tượng. Nước Anh là trung tâm của thứ đại số thế kỉ 19 này với những ứng dụng hình học của nó, những ứng dụng này nở rộ theo sự dẫn dắt tích cực của Arthur Cayley (1821 – 1895), cha đẻ của lí thuyết ma trận, và James Joseph Sylvester (1814 – 1897),động lực chính trong sự phát triển ban đầu của nền toán học châu Mĩ. Hai trong số những tên tuổi nổi bậc của lí thuyết nhóm là Felix Klein (1849 – 1925) và Marius Sophus Lie (1842 – 1899). Klein là một nhà hình học nghiên cứu các nhóm rời rạc (discrete groups), còn Lie làm việc với các nhóm liên tục (continuous groups).

 
Arthur Cayley (1821 – 1895)

James Joseph Sylvester (1814 – 1897)

 
Marius Sophus Lie (1842 – 1899)

Với sự xuất hiện của Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) và những nhà toán học cùng thời của ông, các nhà giải tích nói chung trở nên ý thức hơn về sự cần thiết của chứng minh với lập luận chặt chẽ. Cauchy đã đưa ra một đĩnh nghĩa sử dụng được cho khái niệm giới hạn và tiến hành xây dựng nền tảng vững chắc cho toán vi tích phân. Ông cũng đã phát triển lí thuyết hàm với biến phức gần như cùng lúc khi Gauss công bố số học phức của mình. Bernhard Riemann (1826 – 1866) của Đức cũng đi tiên phong trong lí thuyết số phức; phần lớn công trình của ông cũng có ý nghĩa hình học rõ nét. Đóng góp đơn lẻ quan trọng nhất của Gauss, Abel, Cauchy, Riemann và các nhà toán học khác đầu thế kỉ 19 là sự chú tâm tỉ mỉ của các ông tới việc chứng minh chặt chẽ. Công trình của các ông đã mở đường cho Karl Weierstrass (1815 -1897) – một nhà toán học nổi tiếng về lập luận tỉ mỉ và thận trọng. Ông làm sáng tỏ khái niệm về hàm số, đạo hàm, và loại bỏ được tất cả những mù mờ còn lại trong toán vi tích phân. “Với Weierstrass việc thu gọn các nguyên lí của giải tích về các ý niệm số học đơn giản nhất đã bắt đầu và chúng ta gọi việc này là số học hoá toán học.”

Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857)

Karl Weierstrass (1815 -1897)

Tiêu biểu cho cách tiếp cận này là Leopold Kronecker (1823 – 1891), ông khẳng định “Mọi kết quả của một nghiên cứu toán học sâu xa nhất rốt cuộc phải được diễn tả được duới dạng đơn giản về tính chất của số nguyên.” Ông là một nhà lí thuyết số, nhưng ông được biết đến nhiều nhất qua cuộc tranh luận kéo dài với Weierstrass, người có các lí thuyết dựa trên ý niệm về các dãy vô hạn. Kronecker, trái lại, không chấp nhận sự tồn tại toán học của bất cứ cái gì không thực sự xây dựng được qua một số hữu hạn các bước. Đối nghịch hoàn toàn với quan điểm này là Richard Dedekind (1831 – 1916) và Georg Cantor (1845 – 1918). Dedekind phát triển một cách chặt chẽ ý niệm về số vô tỉ, từ đó cho phép hệ số thực trở thành cơ sở của mọi thứ giải tích. Cantor trong quyển Mengenlehre (Lí thuyết tập hợp), đặt khái niệm số trên cơ sở khái niệm tập hợp, và tiến hành phát triển các loại vô hạn khác nhau, hay các số siêu hạn (transfinite numbers), các số này có các tính chất gần như các số nguyên trong số học sơ cấp. Theo Kronecker, điều này là một trò đùa nguy hiểm của toán học, và ông công kích cả lí thuyết lẫn tác giả hết sức mạnh bạo đến nổi Cantor bị một loạt suy sụp tinh thần và cuối cùng chết trong một bệnh viện tâm thần. Tuy nhiên lí thuyết tập hợp vẫn là một phần nổi bậc nhưng hay gây ra tranh cải trong tư tưởng toán học.

Georg Cantor (1845-1918)

Richard Dedekind (1831 – 1916)

Cuộc cách mạng trong hình học được báo trước rất sớm vào năm 1733 bởi công trình của Girolamo Saccheri. Kể từ khi Euclid đưa ra bộ Elements, lúc nào định đề thứ 5 (thường được gọi là “Định đề Song Song”) cũng bị đặt dấu hỏi bởi những nhà toán học nghĩ rằng nó có thể chứng minh được từ 4 định đề khác. Saccheri biết tất cả những cố gắng trước đây để thực hiện điều này đều thất bại nên ông đề ra một cách tiếp cận vấn đề khác biệt một cách cơ bản. Ông thay “định đề có vấn đề” bằng phủ định của nó với hi vọng sẽ đi đến hai mệnh đề mâu thuẫn nhau trong hệ mới này. Nếu ông làm được việc này thì điều đó có nghĩa là định đề thứ 5 nguyên thuỷ là hệ quả tất yếu của các định đề kia, nhưng hệ thống mới lại không nẩy sinh ra mâu thuẫn nào cả. Quá thất vọng, ông đã đi quay nguợc trở lại trong khi chỉ cần tiến thêm một bước nữa ông sẽ làm nên khám phá của thế kỉ, và công trình của ông chẳng bao lâu đi vào quên lãng.

Đầu thế kỉ 19, có ba nhà toán học thuộc ba nước khác nhau đã sử dụng cách tiếp cận của Saccheri nhưng các ông đã có tầm nhìn sâu sắc hơn để hiểu được ý nghĩa “sự thất bại” của mình và cũng có can đảm công bố các điều tìm được. Nicolai Lobachevsky năm 1829, János Bolyai năm 1832, và Bernhard Riemann năm 1854 đều đã công bố hệ hình học phi-Euclid nhất quán một cách độc lập lẫn nhau. Gauss cũng có một vài ý tưởng tương tự như thế vài thập niên trước nhưng giữ lại không công bố vì sợ bị chỉ trích. Các ý tưởng này xung đối với triết lí của Kant đang thịnh hành coi khái niệm không gian là không gian Euclid một cách tiên nghiệm, và do đó các ý tưởng mới đó vẫn còn khuất trong bóng tối nhiều thập niên. Nhưng cánh cổng chặn dòng lũ logic đã được mở ra. Các định đề không còn là các mệnh đề hiển nhiên đúng theo trực giác nữa mà chúng chỉ đơn giản là các giả định mà việc lựa chọn chúng là hoàn toàn tuỳ ý, không chịu điều kiện ràng buộc nào trước cả. Điều này đã mở đầu cho phương pháp tiên đề hình thức.

János Bolyai (1802-1860)

Bernhard Riemann (1826-1866)

Từ đây hình học không còn giới hạn ở các hình ảnh thấy được nữa, nó đã phát triển với một tốc độ diệu kì. Quyển Ausdehnungslehre (Lí thuyết các mở rộng) của Grassmann đem cho thế giới môn hình học mở rộng hoàn toàn n-chiều cho các không gian metric. Với công trình này ông đuợc xem như là một trong những nhà sáng lập môn giải tích vector (cùng với Hamilton). Jacob Steiner (1796 – 1863), một nhà hình học tổng hợp thuần tuý không thích đại số và giải tích, đã phát triển phần lớn môn hình học xạ ảnh (chiếu). Felix Klein trái lại hợp nhất các thứ hình học bằng đại số hiện đại với phát biểu trong quyển “Erlanger Program” rằng mỗi thứ hình học đều là một ngành nghiên cứu về các bất biến của một tập hợp đối với một phép biến hình nào đó. Lí thuyết này được Cayley và Lie mở rộng thêm rất nhiều.

 
Hermann Grassmann (1809-1877)

Felix Klein (1849-1925)

Henri Poincaré (1854 – 1912), nhà toán học đa năng vĩ đại cuối cùng đã để lại dấu ấn sâu đậm cho xu hướng hợp nhất toán học. Trí nhớ và năng lực am hiểu logic hầu như siêu phàm của ông đã cho phép ông có những đóng góp có giá trị cho số học, đại số, hình học, giải tích, thiên văn và vật lí toán. Ngoài ra ông còn viết sách phổ biến toán học và tích cực quan tâm tới tâm lí sáng tạo. Ông có tầm ảnh hưởng sâu đậm đến sự phát trỉển của môn tôpô (vị tướng học), một ngành toán học tương đối mới mà trước đây thường được gọi là analysis situs (giải tích vị trí) và đôi khi được nói tới như là “hình học của các tấm cao su.”

 
Henri Poincaré (1854 – 1912)

Cách xử lí hình thức hoá môn đại số ở Anh và cách tiếp cận tiên đề trừu tượng ở lục địa châu Âu đã khơi ngòi cho một sự chú tâm đột ngột vào logic và nền tảng toán học, mối quan tâm này lại được nhân đôi sau khi có sự xuất hiện của lí thuyết dễ gây tranh cãi về tập hợp của Cantor. Nghiên cứu có ý nghĩa toán học đầu tiên về logic là các quyển The Mathematical Analysis of Logic (1847) và The laws of Thoughts (1854) của George Boole [Bul] (1815 – 1864). Trong hai công trình này ông đã thể hiện một cách tiếp cận logic hoàn toàn tượng trưng và đã đặt nền móng cho các mở rộng tương lai của lĩnh vực này. Năm 1884, Gottlob Frege (1848 – 1925) xuất bản quyển Die Grundlagen der Arithmetik (Nền tảng của Số học) đưa ra một dẫn xuất của các khái niệm toán học từ logic hình thức và do đó đã kích thích mạnh mẽ các cố gắng hợp nhất logic và toán học.