Tiếp theo bài viết trước đây, xem ở [1], chúng tôi đưa ra một ví dụ trực quan về ứng dụng của phương pháp Stein trong chứng minh định lý giới hạn trung tâm.

Định lý giới hạn trung tâm (CLT): Cho $X_1,X_2,...,X_n\in \mathbb{R}$ là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với kì vọng là 0 và phương sai là 1. $$X={\displaystyle \frac{\sum _i{X}_i}{\sqrt{n}}}$$ sẽ hội tụ yếu đến đại lượng ngẫu nhiên chuẩn tắc $Z\sim N(0,1)$.

Ý tưởng chứng minh định lý giới hạn trung tâm bằng phương pháp Stein: Ý tưởng dựa trên thông tin rằng $$\mathbb{E}Zf(Z)=\mathbb{E}{f}^{\prime }(Z)\text{ cho tất cả các hàm trơn }f⟺Z\sim N(0,1).$$ Điều này gợi ý rằng đại lượng ngẫu nhiên $X$ sẽ xấp xỉ phân phối chuẩn tắc nếu $\mathbb{E}Xf(X)-\mathbb{E}{f}^{\prime }(X)$ xấp xỉ tới 0.

Sơ lược chứng minh CLT: Với mỗi $i$, đặt $X^i=X-n^{-1/2}{X}_i$. Rõ ràng rằng $X^i$ và $X_i$ là độc lập với nhau. Khi đó, với mỗi hàm $f$, ta có $$\mathbb{E}(X_{i}f(X^i)=\mathbb{E}(X_i)\mathbb{E}(f(X^i)=0.$$

Phân tích Taylor bậc nhất cho ta đánh giá sau $$\mathbb{E}(X_{i}f(X))=\mathbb{E}(X_i(f(X)-f(X^i))\approx \mathbb{E}(X_i(X-X^i)f^{\prime }(X))=n^{-1/2}\mathbb{E}(X_i^2{f}^{\prime }(X))$$ Như thế, ta có $$\mathbb{E}(Xf(X))=n^{-1/2}\sum _i\mathbb{E}(X_{i}f(X))\approx n^{-1}\sum _i\mathbb{E}(X_i^2{f}^{\prime }(X))=\mathbb{E}((n^{-1}\sum X_i^2)f^{\prime }(X))$$

Theo định luật số lớn ta có $n^{-1}\sum X_i^2\approx 1$. Như thế, $\mathbb{E}(Xf(X))\approx \mathbb{E}(f^{\prime }(X))$. Điều này có nghĩa là theo phương pháp Stein, đại lượng ngẫu nhiên $X$ xấp xỉ phân phối chuẩn tắc.

Kết luận: Trên đây là sơ lược chứng minh Định lý giới hạn trung tâm bằng phương pháp Stein.

Tài liệu tham khảo:

1. https://kkhtn.duytan.edu.vn/Home/ArticleDetail/vn/94/3395/gioi-thieu-ve-phuong-phap-stein

2. Sourav Chatterjee, Lecture notes: Stein's method and application.

» Tin mới nhất:

• CÁC NGUYÊN TẮC SƯ PHẠM VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CHỦ YẾU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG GIẢNG DẠY CHẤT HỮU CƠ - PHẦN: HYDROCACBON NO (tiếp theo) (18/07/2022)
• Tính các giá trị thống kê thực nghiệm bằng phần mềm Excel (11/07/2022)
• Ước lượng cho phương sai của tổng thể bằng Minitab (19/06/2022)
• CÁC HIỆN TƯỢNG ĐẶC BIỆT CỦA ĐIỆN TỬ TRONG BÁN DẪN III-V (19/06/2022)
• CÁC NGUYÊN TẮC SƯ PHẠM VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CHỦ YẾU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG GIẢNG DẠY CHẤT HỮU CƠ - PHẦN: HYDROCACBON NO (tiếp theo) (18/06/2022)

» Các tin khác:

• CÁC NGUYÊN TẮC SƯ PHẠM VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CHỦ YẾU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG GIẢNG DẠY CHẤT HỮU CƠ - PHẦN: PHÂN LOẠI PHẢN ỨNG HỮU CƠ (17/01/2022)
• SỬ DỤNG MINITAB ĐỂ TÌM KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ (18/12/2021)
• Các đề tài khoa học sinh viên khoa MT&KHTN năm 2021 (18/12/2021)
• Một số khoảng cách giữa hai độ đo xác suất thông dụng (18/12/2021)
• CÁC NGUYÊN TẮC SƯ PHẠM VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CHỦ YẾU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG GIẢNG DẠY CHẤT HỮU CƠ - PHẦN: CẤU DẠNG CÁC HỢP CHẤT HỮU CƠ (18/12/2021)
• Xác định hàm lượng thuốc trừ sâu gốc clo hữu cơ và polyclorua biphenyl trong thủy sản và sản phẩm thủy sản bằng phương pháp sắc kí khí (16/12/2021)
• CÁC NGUYÊN TẮC SƯ PHẠM VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CHỦ YẾU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG GIẢNG DẠY CHẤT HỮU CƠ - PHẦN: ĐỒNG PHÂN HÌNH HỌC (18/11/2021)
• Giới thiệu về phương pháp Stein (18/11/2021)
• SỬ DỤNG TÍNH NĂNG HISTOGRAM TRONG MINITAB ĐỂ LẬP BẢNG TẦN SỐ PHÂN LỚP (17/11/2021)
• Hợp chất màu của nghệ đen (18/10/2021)