• KHOA
    KHOA HỌC TỰ NHIÊN

    Phụ trách các học phần thuộc Khối kiến thức giáo dục đại cương trong các chương trình đào tạo tại Trường Đại học Duy Tân.

  • KHOA
    KHOA HỌC TỰ NHIÊN

    Đảm nhận các học phần Toán học, Vật lý, Hóa học và Sinh học ở các chương trình đào tạo của Trường.

  • KHOA
    KHOA HỌC TỰ NHIÊN

    Xây dựng chương trình, kế hoạch giảng dạy và chủ trì tổ chức quá trình đào tạo các học phần Toán học, Vật lý, Hóa học và Sinh học đại cương.

15/01/2019 04:40:37 PM
Giảng dạy - Học tập
Bài toán tiếp tuyến

Từ tiếp tuyến bắt nguồn từ chữ Latin  tangents, với nghĩa “tiếp xúc”, vậy tiếp tuyến của đường cong có nghĩa là đường thẳng đó tiếp xúc với đường cong.

Nói cách khác, đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại tiếp điểm. Làm thế nào để có thể diễn đạt vấn đề này một cách rõ ràng hơn?

Theo Euclid, tiếp tuyến của đường tròn có thể phát biểu một cách đơn giản là một đường thẳng giao với đường tròn duy nhất tại một điểm như trong hình 1(a). Với những đường cong phức tạp thì định nghĩa này không đầy đủ. Hình 1(b) chỉ ra hai đường thẳng l và t cùng đi qua điểm P trên đường cong C. Đường thẳng l giao với đường cong C tại duy nhất một điểm nhưng nó không phải là tiếp tuyến như chúng ta đã thấy, còn đường thẳng t trông như là tiếp tuyến nhưng lại cắt C tại hai điểm.

Để rõ ràng hơn, ta xét bài toán đi tìm tiếp tuyến t của parabol y = x2 thông qua ví dụ sau.

Ví dụ 1. Tìm phương trình tiếp tuyến của parabol y = x2 tại điểm P(1,1).

Ta sẽ tìm phương trình tiếp tuyến t khi biết được hệ số góc m của nó. Thật khó để tính hệ số góc khi chỉ biết được một điểm P trên t, yêu cầu cần phải có hai điểm. Nhưng theo quan sát ta có thể tính xấp xỉ m bằng cách chọn điểm Q(x,x2) gần P và nằm trên parabol  và tính hệ số góc mPQ của cát tuyến PQ.

Chọn do đó . Vậy

Chẳng hạn, cho điểm Q(1,5;2,25), ta có

Hai bảng sau chỉ ra các giá trị của mPQ tương ứng với các giá trị của x nằm trong lân cận 1.

x

mPQ

X

mPQ

2

3

0

1

1,5

2,5

0,5

1,5

1,1

2,1

0,9

1,9

1,01

2,01

0,99

1,99

1,001

2,001

0,999

1,999
 

Khi cho Q dần về P thì x dần về 1 và theo bảng số liệu đã cho mPQ tiến dần về 2. Điều này gợi cho ta dự đoán rằng có lẻ hệ số góc m = 2. Vậy hệ số góc của đường thẳng tiếp xúc là giới hạn của hệ số góc các cát tuyến và chúng được kí hiệu bởi:

 và

Giả sử rằng hệ số góc của đường thẳng tiếp xúc quả thực là 2, ta sử dụng cách viết phương trình của đường thẳng  dưới dạng điểm-hệ số để viết phương trình của đường thẳng tiếp xúc đi qua điểm P(1,1):y – 1 = 2(x – 1) hay y = 2x – 1

 Khi Q dần về P theo Parabol thì cát tuyến tương ứng sẽ quay về P và xấp xỉ tiếp tuyến t.