• KHOA
    KHOA HỌC TỰ NHIÊN

    Phụ trách các học phần thuộc Khối kiến thức giáo dục đại cương trong các chương trình đào tạo tại Trường Đại học Duy Tân.

  • KHOA
    KHOA HỌC TỰ NHIÊN

    Đảm nhận các học phần Toán học, Vật lý, Hóa học và Sinh học ở các chương trình đào tạo của Trường.

  • KHOA
    KHOA HỌC TỰ NHIÊN

    Xây dựng chương trình, kế hoạch giảng dạy và chủ trì tổ chức quá trình đào tạo các học phần Toán học, Vật lý, Hóa học và Sinh học đại cương.

08/04/2017 08:27:48 AM
Tài liệu học tập
Ứng dụng của toán học- P1

SỰ LƯU THÔNG MÁU

Nếu chúng ta xem xét một khái niệm đơn giản về hệ thống lưu thông máu trong cơ thể một người đàn ông thì chúng ta có thể hình dung rằng chúng ta có một cái bơm để đưa máu ra ngoài và đi đến hệ thống ống dẫn phức tạp, nơi có vô số những mạch máu. Để phát triển mô hình toán học đầy đủ của hệ thống này và sự tác động của nó là một nhiệm vụ gần như là không thể. Do đó, để miêu tả một quá trình bất kỳ, chúng ta phải thử mô hình các phần của hệ thống một các riêng biệt. Ở đây, chúng ta tập trung trên những phần nhỏ trên đường vòng này- miền của động mạch chủ , được diễn tả ở hình 4.3.1. Thật vậy, chúng ta sẽ xem xét sự phần thẳng nối A và B. Chúng ta có thể hình dung rằng, máu chảy ở trong phần này giống nhau như nước ở trong ống hình trụ. Tuy nhiên, đó là trường hợp quá đơn giản. Thật vậy, để thấy được điều đó, chúng ta hãy xem xét một số điều hiển nhiên về mạch máu. Đầu tiên, không giống như nước, máu không có độ nhớt cố định và nó khác nhau khi ứng với tốc độ máu khác nhau. Do đó, máu không thỏa định lý Newton; thật vậy, tính chất của máu có thể thay đổi nhanh chóng nếu rời xa hệ thống và vì vậy mà rất khó khăn để tiến hành một cuộc thí nghiệm với máu dưới điều kiện của phòng thí nghiệm thông thường.

Nếu chúng ta xem xét các kiểu máu chảy trong động mạch thì nó hiện ra ở bên ngoài vì máu chảy ra khỏi tim một cách bất chợt trong khi sự co lại vào trong tâm thu, mạch máu chảy dập dờn và không đều. Hơn nữa, chúng ta không biết tốc độ của mạch máu vào A ở trong hình 4.3.1 và do đó cũng không biết tốc độ tại B. Sự nhận xét này là một điều quan trọng cơ bản trong việc mô hình toán học của mạch máu. Mặt khác, vấn đề thuộc về động lực học chất lỏng trong việc xem xét sự thay đổi tốc độ ban đầu của định luật Newton trong ống dẫn cứng rõ ràng là được hiểu một cách sâu sắc và dựa vào định lý cơ bản của Poiseuille (1846). Chúng ta nên để ý đến Poiseuille, sự đóng góp của ông vào động lực học chất lỏng được biết đến như là một kỹ sư và nhà toán học, nhưng thật ra ông là nhà vật lý và sự quan tâm của ông chính là những vấn đề mà chúng ta đang xem xét ở đây,tức là nghiên cứu về mạch máu.

Chúng ta hãy tập trung vào bản thân các động mạch. Ta biết rằng chúng co giãn và những phần chéo nhau đặc trưng có thể thay đổi đáng kể theo thời gian vì việc co dãn tự nhiên của mạch máu. Do đó, có thể vô lý nếu xem động mạch như là một cái ống cứng. Tuy nhiên, chúng ta nhận thấy rằng điều đó là cần thiết để nhận thấy nó như là sự xấp xỉ đầu tiên.

Từ hình 4.3.1, ta xem xét mạch máu chảy vào trong động mạch chủ. Máu được bơm vào trong hình dạng không đối xứng và đó là những mạch máu lớn chồng lên nhau hợp thành tốc độ   trong vùng hình cung và do đó những mạch máu lớn chồng lên nhau tạo nên áp suất. Điểu này được biết đến từ việc giải phầu ngực của động vật. Tuy nhiên, ở xa vòng cung của nó-trong phần A-B, các mạch máu chồng lên nhau tạo nên tốc độ của dòng chảy bị giảm đáng kể và dòng chảy hầu như hoàn toàn đi theo chiều dọc; dĩ nhiên, nó vẫn co dãn. Ở trong vùng có hình cung, khi nó được tìm hiểu khi giải phẩu ngực động vật thì vùng hình cung rất mềm dẻo và dễ dàng tạo ra áp suất các dòng chảy chồng lên nhau . Do đó, sẽ hợp lý khi thừa nhận rằng sự vòng trở lại lên trên có tính chu kỳ của mạch máu ở vùng hình cung để thay đổi áp suất và đi nhanh chóng đến các phần ngang qua động mạch chủ gây nên sự thay đổi áp suất được làm ẩm, đặc biệt là sự tạo thành tia. Và rồi chúng ta nên thừa nhận rằng vì máu đi xuống thân của động mạch chủ nên việc tạo thành tốc độ nhanh chậm có thể không được chú ý. Sự thừa nhận này được biết đến từ nhà sinh lý học với sự thừa nhận kết quả Windkessel- ý tưởng được giới thiệu bởi nhà sinh lý học người Đức Otto Frank .

Bắt đầu với sự phát triển mô hình toán học của chúng ta , hãy xem xét dòng chảy co dãn trong ống cứng ở phần cắt ngang cố định A và bị chặn bởi {\partial A} .Phần tượng trưng được miêu tả ở hình 4.3.2.

Tại thời điểm t giả sử tốc độ của dòng chảy trong ống là V(x,y,z,t). Đúng với sự thừa nhận Windkessel ở trên, chúng ta nhận ra rằng không có tốc độ tạo thành ngang qua ống và áp suất P chỉ phụ thuộc vào x và t. Nghĩa là P không thay đổi theo vị trí của tia mà chỉ theo chiều dọc. Và từ đó có được mô hình toán học mà chúng ta đã tiến hành, như Poiseuille đã làm, để cân bằng sực mạnh quán tính ta có

                                                                     {F_I=\rho\frac{dV}{dt}}

ở đây {\rho} là độ đặc của máu, với độ nhớt {F_D}; vì sự nhớt và độ mạnh của áp suất {F_P}, chúng có thể được viết trong số hạng của P(x,t) như sau:

                                                           {F_P=-\frac{\partial P}{\partial x}}

Lưu ý rằng {F_P} là lực của bề mặt và lực cơ thể giống như trọng lực không được chú ý đến. Các công thức lực này khi chia kết quả cho {\rho} ta được:

    {\frac{F_P}{\rho}-\frac{dV}{dt}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x}~~~~~~(4.3.1)}

Bây giờ,

                         {\frac{dV}{dt}}

          ={\frac{d}{dt}V(x(t),y(t),z(t))}

 

   ={\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{\partial V}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial V}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial V}{\partial z}\frac{dz}{t}}

Sử dụng luật đạo hàm “dây xích” cho hàm nhiều biến để có được biểu thức trên . Vì chúng ta giả sử rằng tốc độ V luôn luôn theo hướng của x nên tốc độ tạo bởi {\frac{dy}{dt}} và {\frac{dz}{dt}} bằng 0 và {\frac{dx}{dt}=V}. Do đó từ (4.3.1) ta có biểu thức:

{\frac{1}{\rho}{F_D}-\frac{\partial V}{\partial t}-V\frac{\partial V}{\partial x}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x}~~~~~~(4.3.2)}

Bây giờ chúng ta nhận thấy rằng độ nhớt {F_D} là cân đối với tổng đạo hàm riêng phần thứ hai của tốc độ, đó là:

{F_D=v\left(\frac{{{\partial}^{2}}V}{\partial{{x}^{2}}}+\frac{{{\partial}^{2}}V}{\partial{{y}^{2}}}+\frac{{{\partial}^{2}}V}{\partial{{z}^{2}}}\right)~~~~~~(4.3.3)} đây v là hệ số dẻo. Sử dụng (4.3.3) vào (4.3.2) cho ta biểu thức cuối cùng:

{\frac{v}{\rho}\left(\frac{{{\partial}^{2}}V}{\partial{{x}^{2}}}+\frac{{{\partial}^{2}}V}{\partial{{y}^{2}}}+\frac{{{\partial}^{2}}V}{\partial{{z}^{2}}}\right)-\frac{\partial V}{\partial t}-V\frac{\partial V}{\partial x}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial P}{\partial x}~~~~~~~(4.3.4)}

Để trình bày chính xác mô hình này từ công cụ máy móc về chất lỏng thì chúng tôi xin giới thiệu cho người đọc Chorin và Marsden (1979).

Nếu độ đô áp suất {-\frac{\partial P}{\partial x}} được biết và {v,\rho} cũng được biết thì (4.3.4) định nghĩa được công thức đạo hàm riêng bởi tốc độ V(x,y,z,t). Thật ra, (4.3.4) là công thức đạo hàm riêng phần bậc 2 bởi vì nó chứa đạo hàm riêng bậc 2. Nó cũng là phi tuyến tính vì có chứa phần tử phi tuyến tính

                  {V\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{1}{2}\frac{\partial{{V}^{2}}}{\partial x}}

Số hạng trong dấu ngoặc đơn ở bên trái của (4.3.4) được gọi là “Laplacian” của V sau khi nhà toán học Pháp Laplace tìm ra, và chúng ta thường dùng ký hiệu {{\nabla}^{2}} để ký hiệu cho biến đổi Laplacian, nghĩa là

{{{\nabla}^{2}}=\frac{{{\partial}^{2}}V}{\partial{x^2}}+\frac{{{\partial}^{2}}V}{\partial{y^2}}+\frac{{{\partial}^{2}}V}{\partial{z^2}}}

Thừa nhận rằng thành của ống là cứng và áp suất chỉ định hướng lực theo chiều dài của ống, tốc độ không thay đổi với vị trí x theo chiều dài của ống, chỉ với vị trí ngang qua ống. Nghĩa là V chỉ phụ thuộc vào y,z và t. Trong trường hợp (4.3.4) được đơn giản ta nhận được phương trình tuyến tính

{\frac{v}{\rho}\left(\frac{{{\partial}^{2}}V}{\partial{x^2}}+\frac{{{\partial}^{2}}V}{\partial{y^2}}\right)-\frac{\partial V}{\partial t}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x}~~~~~~~~(4.3.5) }

ở đây {\frac{\partial P}{\partial x}}chỉ phụ thuộc vào t.

Điều kiện bị chặn để áp dụng ở đây, nghĩa là

                                                                  {V(y,z,t)=0~~~~~~~(4.3.6)}

Trên {\partial{A}}. Lưu ý rằng chúng ta không thể cung cấp tốc độ ban đầu, nghĩa là {V(y,z,0)=0~~~~~(4.3.7)}không có. Nếu (4.3.7) được biết thì có thể chứng minh được rằng (4.3.5) cùng với điều kiện biên (4.3.6) dẫn đến sự duy nhất của nghiệm V(y,z,t). Nghĩa là, các vấn đề (4.3.5)-(4.3.7) được sắp đặt tốt. Trong trường hợp mạch máu chúng ta yêu cầu có những loại duy nhất khác nhau nên về bản chất nếu u(y,z,t) và w(y,z,t) là hai nghiệm của (4.3.5) với mỗi nghiệm thỏa (4.3.6) thì vì t trở nên lớn hơn nên của hai đều trở nên không thể phân biệt với nhau. Để thuận tiện, điều kiện này có thể gọi là điều kiện Windkessel. Để đưa ra một số ý tưởng về các kiểu nghiệm được mong đợi từ (4.3.5) và (4.3.6) , chúng ta hãy giả định rằng hệ số dính v và hệ số đông đặc {\rho} là hằng số. Cũng giả định rằng ống cứng là hình trụ tròn bán kính a. Giới thiệu về tọa độ cực , từ hình 4.3.2 ta có:

                                                  {z=r\cos\theta,y=r\sin\theta~~~~~(4.3.8)}

Mặt bên của hình trụ cũng được biểu diển bởi r=a. Sử dụng biến đổi (4.3.8) và {\frac{\partial P}{\partial x}=f(t)}, chúng ta có thể viết (4.3.5) như sau:

{\frac{1}{r^2}\frac{{{\partial}^{2}}V}{\partial{{\theta}^2}}+\frac{{{\partial}^2}V}{\partial{r^2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial r}-\frac{\rho}{v}\frac{\partial V}{\partial t}=-\frac{1}{v}f(t)~~~~~~~~~(4.3.9)}

Và hơn nữa thì

                                                      {V(r,\theta,t)=0,r=a~~~~~~~~(4.3.10)}

Nếu giả sử dòng chảy là đối xứng quanh trục thì tốc độ V không phụ thuộc vào {\theta} và (4.3.9) được biến đôi thành:

{\frac{{{\partial}^2}V}{\partial{r^2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial r}-\frac{\rho}{v}\frac{\partial V}{\partial t}=-\frac{1}{v}f(t)~~~~~}

Nghĩa là

{\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial V}{\partial r}\right)=\frac{\rho}{v}\frac{\partial V}{\partial t}-\frac{f(t)}{v}~~~~~~~~~~(4.3.11)}

Tích phân (4.3.11) với biến r ta được

                                                                  {{{\left[r\frac{\partial V}{\partial r}\right]}^{r}}_{r=0}=\frac{\rho}{v}\underset{0}{\overset{r}{\mathop\int}}\,\tau\frac{\partial V(\tau,t)}{\partial t}d\tau-\frac{r^2}{2v}f(t)}

Nghĩa là, thừa nhận {\frac{\partial V}{\partial r}} tồn tại và liên tục tại r=0, ta có:

{r\frac{\partial V}{\partial r}=\frac{\rho}{v}\underset{0}{\overset{r}{\mathop\int}}\,\tau\frac{\partial V(\tau,t)}{\partial t}d\tau-\frac{r^2}{2v}f(t)}

Hay

{\frac{\partial V}{\partial r}=\frac{\rho}{vr}\underset{0}{\overset{r}{\mathop\int}}\,\tau\frac{\partial V(\tau,t)}{\partial t}d\tau-\frac{r}{2v}f(t)}

Tích phân một lần nữa:

{V(a,t)-V(r,t)=\frac{\rho}{v}\underset{r}{\overset{a}{\mathop\int}}\,\frac{1}{\xi}\underset{0}{\overset{\xi}{\mathop\int}}\,\tau\frac{\partial V(\tau,t}{\partial t}d\tau d\xi-\frac{({a^2}-{r^2})}{4v}f(t)}

Sử dụng điều kiện bị chặn (4.3.10)

                                               {V(r,t)=\frac{({{a}^{2}}-{{r}^{2}})}{4v}f(t)-\frac{\rho}{v}\underset{r}{\overset{a}{\mathop\int}}\,\frac{1}{\xi}\underset{0}{\overset{\xi}{\mathop\int}}\,\tau\frac{\partial V(\tau,t)}{\partial t}d\tau d\xi~~~~~~(4.3.12)}

Để làm cho quá trình tiến về nghiệm của (4.3.12) nhanh hơn thì ta hãy giả sử xấp xỉ đầu tiên là:

                             {V(r,t)={V^0}(r,t)=\frac{({a^2}-{r^2})}{4v}f(t)~~~~~~~~(4.3.13)}

Chính xác là xấp xỉ này là tốc độ parabolic mà chúng ta đã biết trong dòng chảy Poiseuille. Để xấp xỉ được tốt hơn, chúng ta thế {V^0} vào biểu thức trong dấu tích phân:

                                                        {{V^{(1)}}(r,t)=\frac{({a^2}-{r^2})}{4v}f(t)-\frac{\rho}{v}\underset{r}{\overset{a}{\mathop\int}}\,\frac{1}{\xi}\underset{0}{\overset{\xi}{\mathop\int}}\,\tau\frac{\partial{{V}^{0}}(\tau,t)}{\partial t}d\tau d\xi}

Lặp lại ý tưởng này ta được phương pháp lặp và :

                                                      {{V^{(n+1)}}(r,t)=\frac{({a^2}-{r^2})}{4v}f(t)-\frac{\rho}{v}\underset{r}{\overset{a}{\mathop\int}}\,\frac{1}{\xi}\underset{0}{\overset{\xi}{\mathop\int}}\,\tau\frac{\partial{{V}^{(n)}}(\tau,t)}{\partial t}d\tau d\xi~~~~(4.3.14)}

Nếu việc quy nạp này hội tụ khi {n\to\infty} thì ta nhận được nghiệm của bài toán. Dĩ nhiên là không chỉ có duy nhất một nghiệm; thật vậy, trong trường hợp tổng quát, phương pháp được định nghĩa ở (4.3.14) chỉ hội tụ nếu {\frac{\rho}{v}} đủ nhỏ. Nếu điều này không xảy ra thì ta phải tìm nghiệm theo một nghĩa khác.

Bây giờ chúng ta hãy trở lại bài toán co dãn của mạch máu trong phần thân của động mạch chủ. Mô hình sự tác động của tốc độ V ở (4.3.4) nhưng bây giờ chúng ta không thể không xét đến số hạng phi tuyến tính{V\frac{\partial V}{\partial x}}. Thêm vào đó, trường hợp này là rắc rối hơn bởi cả {\rho} và v đều phụ thuộc vào vị trí và thời gian t. Cũng vì sự đàn hồi của động mạch chủ và sự co dãn tự nhiên của dòng chảy nên bao đóng {\partial A} của ống phụ thuộc vào thời gian và có thể khác nhau ở những vị trí khác nhau. Vì thế, tóm lại chúng ta phải đi tính công thức đạo hàm riêng phi tuyến tính để loại bỏ sự hạn chế của bao đóng, bài toán này vượt quá kiến thức của cuốn sách . Cuối cùng chúng ta không nên quên điều kiện duy nhất Windkessel.